En este apartado vamos a seguir un estudio electromagnético para llegar a un resultado que explique la transformación del movimiento de una cuerda de la guitarra eléctrica en un voltaje variable que equivale al sonido electrificado de la guitarra. Para ello vamos a ir avanzando poco a poco en el planteamiento siguiendo los siguientes puntos:

    1. Esquema de una pastilla

    2. Las propiedades magnéticas del flujo y los materiales ferromagnéticos

    3. La creación de campos magnéticos variables debido a las vibraciones de las cuerdas.

    4. La inducción de un voltaje debido al cambio del flujo magnético.

    5. Las ecuaciones de Maxwell que describen las pastillas de la guitarra eléctrica. 

   Cada pastilla mide unos  2 ¾" de largo y ½" de ancho y consiste en un imán permanente que tiene un cable enrollado llamado bobina. Además, el imán permanente tiene seis "salientes" que sobresalen de la bobina, cada uno de ellos correspondiente a una cuerda de la guitarra. La pastilla está colocada en el cuerpo de la guitarra alineada de tal forma que cada "saliente" de la pieza esté colocado exactamente debajo de su cuerda correspondiente.

Este es el esquema de pastilla que vamos a utilizar a lo largo de todo el estudio. Excluimos las pastillas humbucker que al tener dos bobinas poseen interacciones distintas a las de este sistema. Más adelante para simplificar las fórmulas solo tendremos en cuenta un núcleo magnético y una sola cuerda.

2. Las propiedades magnéticas del flujo y los materiales ferromagnéticos

El primer objetivo de la pastilla de la guitarra eléctrica es convertir las oscilaciones de una cuerda en variaciones del flujo magnético (se define como la cantidad de intensidad magnética que atraviesa una superficie, como dice la ecuación de la derecha).

Este flujo magnético es necesario cuando calculamos el campo electromagnético inducido en la bobina. El flujo magnético puede ser cambiado de dos maneras. Cambiando la intensidad del campo, o cambiando el tamaño del área. En nuestro caso el tamaño de la bobina es fijo luego la única manera que tendremos de cambiar el flujo será variando la intensidad del campo magnético. 
 

   El movimiento de la cuerda de la guitarra cambia el campo magnético de la bobina. Una cuerda de guitarra está hecha de acero, que es un material ferromagnético. Un material  ferromagnético no tiene un campo magnético inherente, pero tiene gran facilidad para realzar cualquier campo en el que estén situados. Este fenómeno es debido a que pequeñas áreas de estos materiales son magnéticas. Como la orientación de dichas regiones magnéticas es aleatoria, los momentos magnéticos se cancelas, y el material como un todo no es magnético. Pero cuando existe un campo magnético externo, estos momentos tienden a alinearse y producen un campo magnético propio que se añade al campo magnético existente. Los materiales ferromagnéticos permaneces magnetizados incluso después de que el campo externo haya desaparecido.

 

Regiones magnéticas aleatorias en un material Ferromagnético

 

 

3. La creación de campos magnéticos variables debido a las vibraciones de las cuerdas.

Los materiales ferromagnéticos pueden ser utilizados para realzar los campos magnéticos. Los solenoides utilizan este principio para crear unos campos magnéticos mayores para una misma cantidad de energía. De la teoría magnética sabemos que el campo magnético de un solenoide depende solamente de de la constante de permeabilidad, como se puede ver en la ecuación, de la intensidad ( i ) y del número de vueltas por unidad de longitud   ( n ). La manera más económica de incrementar el campo magnético es cambiar la constante de permeabilidad. La solución para esto es introducir un material en el centro del solenoide que incrementa esta constante, creando un campo magnético mucho mayor. Este efecto es similar al que se puede observar en las pastillas de una guitarra eléctrica.

Antes de comenzar a tocar, cuando las cuerdas están en reposo, la pastilla magnética induce un campo magnético en la cuerda de la guitarra. Este aumenta el tamaño del campo magnético, que incrementa a su vez el flujo a través de la bobina. Cuando la cuerda es pulsada, el flujo a través de la bobina varia en función de la distancia de la pastilla a la cuerda. Cuando la distancia es menor, el campo magnético efectivo es mayor, y el flujo es mayor, y viceversa. La frecuencia de la variación depende exclusivamente en el movimiento de la cuerda.

 Cuando una cuerda es pulsada, se mueve de una manera oscilatoria. La frecuencia depende solamente del materia, la longitud y la tensión de la cuerda. Estas oscilaciones se producen en dos sentidos: arriba-abajo y izquierda-derecha con respecto a la bobina y el sonido se produce por la suma de ambas oscilaciones. Si las cuerdas solo se movieran arriba-abajo, el campo incrementaría y decrecería una ver por cada período de la cuerda. En cambio si el movimiento es izquierda-derecha la frecuencia es del doble con respecto a la cuerda. Como la oscilación de la cuerda siempre es una combinación de ambos, el periodo del flujo magnético es mucho más complicado que un múltiplo simple del periodo de la cuerda.

 

En estas dos animaciones podemos observar como fluctúan los campos dependiendo del movimiento de la cuerda. El imán inferior representa la pastilla mientras que la circunferencia superior sería la cuerda hecha de un material electromagnético.

A la izquierda el movimiento es horizontal y a la derecha el movimiento es vertical.

 

 4. La inducción de un voltaje debido al cambio del flujo magnético.

El siguiente paso que tenemos que estudiar es como transforma la pastilla el flujo magnético en corriente a través de la bobina. El procedimiento esta descrito según la Ley de Faraday. Esta Ley dice que una variación del flujo magnético produce un campo eléctrico contrario a la fuerza que lo crea. Cuando el material magnético se acerca a un aro de cable un flujo es creado. La dependencia matemática la expuesta en la ecuación de la derecha.

A partir de esta Ley es fácil suponer el funcionamiento de una pastilla. La cuerda ferromagnética produce unas variaciones de flujo que dependen en el tiempo de manera sinusoidal, lo que produce un campo eléctrico en la bobina.

 

5. Las ecuaciones de Maxwell que describen las pastillas de la guitarra eléctrica. 

La física que hay detrás de una pastilla de la guitarra eléctrica puede ser analizada utilizando las ecuaciones de Maxwell. El dispositivo puede ser simulado por un simple solenoide; el núcleo hecho de hierro y el cable exterior hecho de cobre. La idea es que la cuerda sobre el núcleo magnético vibra y causa un variación en la campo magnético producido por el núcleo. Esta variación es "notada" por el cable y como resultado se produce un campo eléctrico en la bobina. Todo el sistema puede ser resuelto usando la segunda ecuación de Maxwell y el teorema de Stoke.
	Segunda ecuación de Maxwell	Teorema de Stoke

Utilizando la ecuación anterior vamos a ser capaces de evaluar y analizar la pastilla de la guitarra eléctrica. Primero, vamos a simplificar nuestro estudio reduciendo la pastilla a una bobina  con un núcleo magnético. En la realidad hay tantos núcleos  como cuerdas pero por simplicidad centraremos nuestro estudio a una sola. Por encima de la bobina hay hilo ferromagnético, como níquel o hierro.

Modelaremos la vibración de la cuerda sobre el imán como un movimiento circular y asumimos que el espacio entre los dos es despreciable. Sabemos que el campo magnético en un cable magnético viene dado por:

El campo magnético puede ser estimado, teniendo en cuenta que lo consideramos un movimiento circular, como:
 

	Donde omega es la frecuencia, medida en rad/s, a la que vibra al cuerda sobre el núcleo
Gracias a la aproximación que hemos asumido de que la distancia entre ellos es suficientemente pequeña, podemos ignorar las atenuaciones de la onda. El campo total con el que nos encontramos vendrá dado por la suma del producido por la cuerda más el producido por el núcleo. Luego:

Luego aplicamos las ecuaciones de Maxwell y integramos ambos miembros de la ecuación.
	Luego aplicamos el teorema de Stokes para eliminar el rotacional del campo eléctrico:

Por último obtenemos la solución, es decir, el valor del campo eléctrico en función del magnético:

Este es campo magnético producido por el flujo magnético que se produce en la bobina debido a las vibraciones de la cuerda. B es el campo magnético en la cuerda, A es el área de la bobina y N es el número de cuerdas en el cable. Como se puede ver en esta ecuación, la magnitud del campo eléctrico es directamente proporcional a la frecuencia del estímulo. Además, la frecuencia con la que vibra la cuerda es también la frecuencia del campo eléctrico. También se ve claramente como lo que se obtiene a la salida es una señal alterna (AC) sin ninguna componente continua como ya habíamos supuesto en otros apartados.
 

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