,
la relación entre el fasor de presión en la superficie de la esfera
y el fasor de presión de campo libre en el centro de la esfera. En nuestro
caso:A continuación mostramos un estudio realizado por Richard 0. Duda y William L. Martens
La HRTF varía con la distancia al igual que con el azimut o la elevación. En particular, las DII a bajas frecuencias son insignificantes a grandes distancias, pero se agrandan a distancias cortas. Este estudio se centrará en la dependencia con la distancia de un sonido medido sobre una esfera ideal. Con ello trataremos de entender el comportamiento de la HRTF en las distancias cortas.
Es fácil comprobar que un sonido procedente de una fuente muy cercana a un oído, no sólo suena más alto, sino que contiene más energía de baja frecuencia que sonidos a mayor distancia.
El modelo más sencillo para estudiar este efecto consiste en aproximar la fuente por un punto y la cabeza por una esfera rígida. Esta idealización está restringida a bajas frecuencias y, obviamente, se vuelve problemática si nos acercamos a la superficie de la cabeza. Sin embargo, un análisis cualitativo de este comportamiento nos ayudará a entender el comportamiento real.
Se presentan los resultados teóricos y experimentales, tanto en el dominio del tiempo (HRIR) como en el de la frecuencia (HRTF).
Partimos de la fórmula obtenida por Rabinowitz (*)
para medir la presión sobre una superficie esférica debida a una
fuente puntual senoidal, situada a una distancia r mayor que el radio de la
esfera a. Su solución puede ser expresada en el dominio de la frecuencia
como una serie infinita para la HRTF ,
la relación entre el fasor de presión en la superficie de la esfera
y el fasor de presión de campo libre en el centro de la esfera. En nuestro
caso:
Se hace el desarrollo de las series infinitas para calcular tanto la HRIR como la HRTF. El valor de la HRTF para una fuente en el infinito se muestra en la siguiente figura:
Este resultado clásico nos muestra que la presión
sobre la esfera es la misma que la presión de campo libre para bajas
frecuencias. Para una incidencia normal (
=0º),la
presión aumenta con la frecuencia, alcanzando unos 6dB a altas frecuencias.
La frecuencia crítica 
=
1 se corresponde a 624 Hz para un radio de cabeza promedio típico de
8,75 cm. La respuesta es prácticamente plana cuando =100º,
y termina decayendo como una función compleja al aumentar .
Cerca de la parte trasera de la cabeza, la respuesta presenta unos grandes picos,
y alcanza el "punto brillante" en el punto contralateral.
Brungart y Rabinowitz asumieron que las orejas estaban situadas en estremos opuestos de un diámetro, y calcularon como varían las DII y las DIT con las distancias. Sin embargo, si seguimos lo dispuesto por Blauert, debemos colocar las orejas con unos 10º adicionales. Haciendo esto se obtienen las siguientes medidas:
 |
 |
|
DII para 
= 100 y las orejas en +/- 100º |
DII para
= 2 |
 |
DII para
= 1.25 |
Observamos que para =
100, la DII es menor de 3 dB para
< 1. Esto comienza a variar significativamente cuando
< 5. Por ejemplo, la DII de baja frecuencia cuando
= 2 puede sobrepasar los 10 dB, e incluso los 20 dB para
= 1,25
Como hemos explicado arriba, hay evidencias de que la HRTF para una esfera es de fase mínima, por lo que la HRIR puede ser recuperada a partir de ella. Para ello, simplemente tenemos que hacer la transformada inversa de Fourier de la función de transferencia:
La siguiente figura muestra los resultados de evaluar numéricamente
la transformación para el caso en el que
= 100. Vemos que cuando el ángulo de incidencia se aproxima a 180º,
el punto brillante se hace prominente. Es más, la apariencia visual del
gráfico sugiere fuertemente que el impulso continúa a través
del punto brillante.
Uno puee interpretar la respuesta en conjunto como el resultado de dos ondas, una propagándose alrededor del lado derecho de la esfera y otra propagándose alrededor del lado izquierdo. El punto brillante emerge donde ambas curvas se juntan. Aunque esto es una aproximación muy superficial, explica porque la respuesta para ángulos de incidencia entre 150º y 170º contienen dos pulsos prominentes en el dominio del tiempo. También explica el correspondiente fuerte patrón de rizos en el dominio de la frecuencia.
A continuación se muestra la HRIR para
= 1,25. Como la fuente está muy próxima a la esfera, la respuesta
se vuelve más intensa en el lado cercano y más débil en
el lado más alejado. Además, las diferencias entre el tiempo de
llegada al lado cercano y al alejado son más pequeñas para distancias
largas que para cercanas.
Con funciones de transferencia, es habitual usar los retrasos
de fase y/o grupo para definir el tiempo de llegada de un pulso. El retraso
de fase para una esfera es dependiente de la frecuencia, siendo un 50% mayor
para bajas frecuencias que para altas. Con medidas experimentales, es conveniente
definir los tiempos de llegada con
, el tiempo cuando el pulso sobrepasa p veces su máxima amplitud. Usamos
esta misma definición para calcular los tiempos de llegada normalizados
de la HRIR, por lo que tenemos:
En el gráfico de la siguiente figura, los circulos muestran
como estas llegadas normalizadas varían con el ángulo de incidencia
para dos valores diferentes de distancias:
= 1.25 y = 100. Estas dos
curvas saltan los resultados para distancias intermedias. Como 
es la diferencia normalizada entre el tiempo de llegada a la superficie de la
esfera y el tiempo de llegada del campo libre al centro de la esfera, cuando
=0º,
es negativa para todas las distancias. Para azimuts mayores,
se incrementa cuando la fuente se aproxima a la esfera. Además la DIT,
que viene expresada como (+100º)
- (-100º),
también se incrementa cuando la fuente se aproxima.
Una fórmula debida a Woodworth y Schlosberg puede ser generalizada
para proporcionar unas ecuaciones aproximativas muy útiles para el retraso
temporal y la DIT. La diferencia de tiempos normalizada
entre el tiempo cuando la onda alcanza el punto de observación y el tiempo
en el que alcanzaría el centro de la esfera en campo libre viene dada
por:
Las líneas sólidas de la figura anterior muestran
como la predición de este modelo simple para =1,
1,25 y 
están
entre el 2,4% y el 15% de los resultados temporales.
Finalmente, la siguiente figura muestra saltos en la DIT calculada
a partir de las ecuaciones anteriores para oídos colocados en =
+/- 100º. Acercando la fuente a la esfera incrementa la DIT hasta un máximo
del 25,7% (0,0908 unidades normalizadas, o 146 s
para una cabeza de radio 8,75 cm). Brungart y Rabinowitz obtuvieron resultados
similares usando el retraso de fase. Descubrieron que un ser humano es insensible
a retrasos sobre 700 s,
y los resultados mostrados sontenían su hipótesis de que los cambios
en la DIT probablemente no proporcionaban información sobre la distancia.
Para realizar estas medidas se ha utilizado el Crystal River Engineering
Snapshot system. Como experimento, se usó este sistema para repitir las
medidas de Wiener sobre una esfera. Un micrófono de prueba Etymotic Research
ER-7C fue introducido en un agujero perforado en una bola de bolos de 3,6 Kg
y 10,9 cm de radio (para la que =1
corresponde a 500 Hz). La bola fue montada sobre una columna vertical de 1,3
cm de diámetro, que la mantenía a 1 m del suelo de una cámara
sin reberveración. Las medidas se realizaron para valores de =1,25;
1,5; 2, 3, 5, 10 y 20.
Un ejemplo de las curvas de respuesta en frecuencia resultantes
se ve en la figura siguiente. Para comparar, las líneas sólidas
muestran los resultados teóricos. Se obtuvieron resultados similares
para otros ángulos y distancias, aunque aparecían discrepancias
significativas a partir de
< 2 y la fuente no podía ser aproximada por una fuente puntual.
La siguiente figura muestra la correspondiente HRIR. De nuevo, los resultados coinciden con lo esperado teóricamente.
Para terminar, la última figura muestra el retraso temporal calculado a partir de las medidas experimentales de la HRIR usando la definición del 15% de tiempo de subida para los casos de r = 2 (círculos) y r = 20 (equis). Como en una figura anterior, las lineas sólidas se calculan siguiendo las fórmulas de Woodworth y Schlosberg. De nuevo estas fórmulas proporcionan una buena aproximación.
La teoría y la práctica demuestran que la HRTF para una esfera rígida comienza a ser sensible a la distancia cuando la relación entre la distancia y el radio de la esfera es menor de 5. La respuesta al impulso explica la fuente de rizado en la respuesta frecuencial y proporciona una información directa sobre la DIT. Concretamente, la DIT puede ser calculada por la fórmula de Woodworth y Schlosberg generalizada, y no es muy sensible a la distancia.
Por el contrario, la DII es muy sensible a la distancia cuando la fuente está próxima y se vuelve significativa para frecuencias relativamente bajas.
Numéricamente, el análisis indica que la HRTF es de fase mínima. Además, excepto por el retraso temporal, la respuesta al impulso puede ser reconstruida por las principales componentes de la respuesta frecuencial.